อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คืออะไร? อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และอนุพันธ์ของผลหารคำนวณอย่างไร อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คืออะไร

ให้ฟังก์ชันต่างๆ ถูกกำหนดไว้ในบริเวณใกล้จุดๆ หนึ่งและมีอนุพันธ์ ณ จุดนั้น จากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะมีอนุพันธ์ ณ จุดซึ่งกำหนดโดยสูตร:
(1) .

การพิสูจน์

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
;
.
ที่นี่ และ เป็นฟังก์ชันของตัวแปรและ แต่เพื่อความสะดวกในการจดบันทึก เราจะละเว้นการกำหนดข้อโต้แย้งของพวกเขา

ต่อไปเราจะสังเกตเห็นว่า
;
.
โดยเงื่อนไขฟังก์ชันและมีอนุพันธ์ ณ จุดซึ่งมีข้อจำกัดดังต่อไปนี้
;
.
จากการมีอยู่ของอนุพันธ์จึงเป็นไปตามหน้าที่และมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น นั่นเป็นเหตุผล
;
.

พิจารณาฟังก์ชัน y ของตัวแปร x ซึ่งเป็นผลคูณของฟังก์ชันและ:
.
ลองพิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนี้:



.
ตอนนี้เราพบอนุพันธ์แล้ว:


.

ดังนั้น,
.
กฎได้รับการพิสูจน์แล้ว

คุณสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทนตัวแปรได้ ลองแสดงว่ามันเป็น x แล้วถ้ามีอนุพันธ์ และ แล้วอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะถูกกำหนดโดยสูตร:
.
หรือในเวอร์ชั่นที่สั้นกว่า
(1) .

ผลที่ตามมา

ปล่อยให้มันเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ x แล้ว
;
;
ฯลฯ ...

มาพิสูจน์สูตรแรกกันดีกว่า ขั้นแรก เราใช้สูตรอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ (1) สำหรับฟังก์ชัน และ จากนั้นสำหรับฟังก์ชัน และ :

.

สูตรอื่นๆ ที่คล้ายคลึงกันได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

หาอนุพันธ์
.

สารละลาย

เราใช้กฎเพื่อแยกความแตกต่างผลคูณของสองฟังก์ชัน
(1) .
.

จากตารางอนุพันธ์เราพบว่า:
;
.
แล้ว
.

ในที่สุดเราก็มี:
.

คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจากตัวแปร x
.

สารละลาย

เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน:
(1) .
.

เราใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชัน:
.
.

เราใช้กฎสำหรับการแยกค่าคงที่:
;
.
;
.

กับ การแก้ไขเอกสารในหัวข้อ "อนุพันธ์" ระดับโรงเรียนขั้นพื้นฐาน
ข้อมูลทางทฤษฎีสำหรับนักเรียน ครู และผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อช่วยจัดการเรียนการสอน

คำนิยาม:อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของตัวแปร นั่นคือ

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน:

กฎเกณฑ์ในการคำนวณอนุพันธ์

อนุพันธ์ของผลรวมสองนิพจน์ใด ๆ เท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ของนิพจน์เหล่านี้ (อนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์)

อนุพันธ์ของความแตกต่างสองนิพจน์ใด ๆ เท่ากับผลต่างของอนุพันธ์ของคำเหล่านี้ (อนุพันธ์ของผลต่างเท่ากับผลต่างของอนุพันธ์)

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ปัจจัยสองตัวจะเท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ของปัจจัยที่หนึ่งและตัวที่สองบวกกับผลคูณของปัจจัยที่หนึ่งและอนุพันธ์ของตัวที่สอง (ผลรวมของอนุพันธ์ของปัจจัยที่นำมาในทางกลับกัน)
ความคิดเห็นของครูสอนคณิตศาสตร์:เมื่อฉันเตือนนักเรียนสั้นๆ เกี่ยวกับกฎในการคำนวณอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ ฉันพูดแบบนี้: อนุพันธ์ของตัวประกอบแรกด้วยเครื่องหมายบวกตัวที่สอง แลกจังหวะ!

อนุพันธ์ของผลหารสองนิพจน์เท่ากับผลหารของความแตกต่างระหว่างอนุพันธ์ของปัจจัยที่นำมาในทางกลับกันกับกำลังสองของตัวส่วน

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขและฟังก์ชัน- ในการค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขและนิพจน์ตามตัวอักษร (ฟังก์ชัน) คุณต้องคูณตัวเลขนี้ด้วยอนุพันธ์ของนิพจน์ตามตัวอักษรนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน คุณจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกแล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน

ความคิดเห็นและข้อเสนอแนะของคุณในหน้าอนุพันธ์:
อเล็กซานเดอร์ เอส.
ฉันต้องการโต๊ะจริงๆ หนึ่งในที่สุดบนอินเทอร์เน็ต ขอบคุณมากสำหรับคำอธิบายและกฎเกณฑ์ด้วย อย่างน้อยอีกหนึ่งตัวอย่างก็จะดีสำหรับพวกเขา ขอบคุณมากอีกครั้ง

Kolpakov A.N. ครูสอนคณิตศาสตร์:ตกลง ฉันจะพยายามอัปเดตหน้าด้วยตัวอย่างในอนาคตอันใกล้นี้

หนังสืออ้างอิงทางคณิตศาสตร์เสมือนจริง
Kolpakov Alexander Nikolaevich ครูสอนคณิตศาสตร์

ฟังก์ชันอนุพันธ์คืออะไร - นี่คือแนวคิดทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่อยู่ในระดับเดียวกับปริพันธ์ในการวิเคราะห์ ฟังก์ชันนี้ ณ จุดหนึ่งจะให้คุณลักษณะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดนี้
แนวคิดเช่นการสร้างความแตกต่างและบูรณาการ แนวคิดแรกถูกถอดรหัสเป็นการกระทำในการค้นหาอนุพันธ์ ประการที่สองในทางกลับกันคืนค่าฟังก์ชันที่เริ่มต้นจากอนุพันธ์ที่กำหนด
การคำนวณอนุพันธ์มีบทบาทสำคัญในการคำนวณส่วนต่าง
เพื่อเป็นตัวอย่างที่ชัดเจน เราจะพรรณนาถึงอนุพันธ์บนระนาบพิกัด

ในฟังก์ชัน y=f(x) เรากำหนดจุด M โดยที่ (x0; f(X0)) และ N f (x0+?x) ให้กับแต่ละ abscissa จะมีการเพิ่มขึ้นในรูปแบบ?x การเพิ่มขึ้นเป็นกระบวนการที่ abscissa เปลี่ยนแปลง จากนั้นลำดับก็เปลี่ยนด้วย แสดงว่า?y.
ลองหาแทนเจนต์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม MPN โดยใช้จุด M และ N สำหรับสิ่งนี้

ใช่ไหม? = NP/MP = ?คุณ/?x.

As?x ไปที่ 0 ค่า MN ที่ตัดกันเข้าใกล้ MT แทนเจนต์และมุมมากขึ้น? จะ?. ดังนั้น tg? ค่าสูงสุดสำหรับ tg?.

ใช่ไหม? = ลิมจาก?x-0 tg ? = ลิมจาก?x-0 ?y/?x

ตารางอนุพันธ์

หากออกเสียงถ้อยคำของแต่ละคน สูตรอนุพันธ์- ตารางจะง่ายต่อการจดจำ
1) อนุพันธ์ของค่าคงที่คือ 0
2) X ที่มีจำนวนเฉพาะเท่ากับ 1
3) หากมีปัจจัยคงที่ เราก็เอามันเป็นอนุพันธ์
4) ในการค้นหากำลังที่ได้รับ คุณต้องคูณเลขชี้กำลังของกำลังที่กำหนดด้วยกำลังที่มีฐานเดียวกัน ซึ่งมีเลขชี้กำลังน้อยกว่า 1
5) การค้นหารากจะเท่ากับหนึ่งหารด้วย 2 รากเหล่านี้
6) อนุพันธ์ของอันหนึ่งหารด้วย X เท่ากับหนึ่งหารด้วย X กำลังสอง โดยมีเครื่องหมายลบ
7) P ไซน์เท่ากับโคไซน์
8) P โคไซน์เท่ากับไซน์โดยมีเครื่องหมายลบ
9) P แทนเจนต์เท่ากับ 1 หารด้วยโคไซน์กำลังสอง
10) P โคแทนเจนต์เท่ากับหนึ่งที่มีเครื่องหมายลบ หารด้วยไซน์กำลังสอง

นอกจากนี้ยังมีกฎเกณฑ์ในการสร้างความแตกต่าง ซึ่งง่ายต่อการเรียนรู้โดยการพูดออกมาดังๆ

1) พูดง่ายๆ ก็คือ n ของพจน์เท่ากับผลรวมของมัน
2) อนุพันธ์ในการคูณเท่ากับการคูณค่าแรกด้วยค่าที่สอง โดยบวกเข้ากับตัวมันเองด้วยการคูณค่าที่สองด้วยค่าแรก
3) อนุพันธ์ในการหารเท่ากับการคูณค่าแรกด้วยค่าที่สอง ลบการคูณของค่าที่สองด้วยค่าแรก เศษส่วนหารด้วยค่าที่สองยกกำลังสอง
4) สูตรเป็นกรณีพิเศษของสูตรที่สาม

หากคุณทำตามคำจำกัดความอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δ ยถึงการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ Δ x:

ทุกอย่างดูเหมือนจะชัดเจน แต่ลองใช้สูตรนี้คำนวณ เช่น อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ฉ(x) = x 2 + (2x+ 3) · จ xบาป x- หากคุณทำทุกอย่างตามคำจำกัดความหลังจากคำนวณไปสองสามหน้าคุณก็เผลอหลับไป ดังนั้นจึงมีวิธีที่ง่ายและมีประสิทธิภาพมากกว่า

ประการแรก เราสังเกตว่าจากฟังก์ชันที่หลากหลายทั้งหมด เราสามารถแยกแยะสิ่งที่เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานได้ สิ่งเหล่านี้เป็นนิพจน์ที่ค่อนข้างง่ายซึ่งมีการคำนวณและจัดตารางอนุพันธ์มายาวนาน ฟังก์ชันดังกล่าวค่อนข้างง่ายต่อการจดจำ - พร้อมด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านั้น

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น

ฟังก์ชั่นเบื้องต้นมีทั้งหมดตามรายการด้านล่าง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ต้องรู้ด้วยใจ ยิ่งกว่านั้นการจดจำไม่ใช่เรื่องยากเลย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นระดับประถมศึกษา

ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐาน:

หากฟังก์ชันพื้นฐานคูณด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจ อนุพันธ์ของฟังก์ชันใหม่ก็จะถูกคำนวณอย่างง่ายดายเช่นกัน:

(ค · ฉ)’ = ค · ฉ ’.

โดยทั่วไป ค่าคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

แน่นอนว่าคุณสามารถเพิ่มฟังก์ชันพื้นฐานเข้าด้วยกัน คูณ หาร และอื่นๆ อีกมากมายได้ นี่คือลักษณะที่ฟังก์ชันใหม่จะปรากฏขึ้น ซึ่งไม่เฉพาะเจาะจงอีกต่อไป แต่ยังมีความแตกต่างตามกฎบางอย่างอีกด้วย กฎเหล่านี้จะกล่าวถึงด้านล่าง

อนุพันธ์ของผลรวมและผลต่าง

ให้ฟังก์ชันได้รับ ฉ(x) และ ก(x) อนุพันธ์ที่เรารู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันพื้นฐานที่กล่าวถึงข้างต้นได้ จากนั้นคุณจะพบอนุพันธ์ของผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันเหล่านี้:

1. (ฉ + ก)’ = ฉ ’ + ก ’
2. (ฉ − ก)’ = ฉ ’ − ก ’

ดังนั้น อนุพันธ์ของผลรวม (ผลต่าง) ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวม (ผลต่าง) ของอนุพันธ์ อาจมีเงื่อนไขเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่น, ( ฉ + ก + ชม.)’ = ฉ ’ + ก ’ + ชม. ’.

พูดอย่างเคร่งครัด ไม่มีแนวคิดเรื่อง "การลบ" ในพีชคณิต มีแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบเชิงลบ" ดังนั้นความแตกต่าง ฉ − กสามารถเขียนใหม่เป็นผลรวมได้ ฉ+ (−1) กแล้วเหลือเพียงสูตรเดียวเท่านั้น - อนุพันธ์ของผลรวม

ฉ(x) = x 2 + บาป x; ก(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

การทำงาน ฉ(x) คือผลรวมของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้น:

ฉ ’(x) = (x 2 + บาป x)’ = (x 2)’ + (บาป x)’ = 2x+ คอส x;

เราให้เหตุผลในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชันนี้ ก(x- มีเพียงสามเทอมเท่านั้น (จากมุมมองของพีชคณิต):

ก ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2x+ คอส x;
ก ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกะ ผู้คนจำนวนมากเชื่อว่าหากอนุพันธ์ของผลรวมเท่ากับผลรวมของอนุพันธ์ แล้วอนุพันธ์ของผลคูณ โจมตี">เท่ากับผลคูณของอนุพันธ์ แต่สกรูคุณ! อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คำนวณโดยใช้สูตรที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง กล่าวคือ:

(ฉ · ก) ’ = ฉ ’ · ก + ฉ · ก ’

สูตรนั้นเรียบง่ายแต่มักถูกลืม และไม่ใช่แค่เด็กนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือการแก้ปัญหาอย่างไม่ถูกต้อง

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = x 3 คอส x; ก(x) = (x 2 + 7x− 7) · จ x .

การทำงาน ฉ(x) เป็นผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐาน 2 ฟังก์ชัน ดังนั้นทุกอย่างจึงเป็นเรื่องง่าย:

ฉ ’(x) = (x 3คอส x)’ = (x 3)’ เพราะ x + x 3 (คอส x)’ = 3x 2คอส x + x 3 (- บาป x) = x 2 (3คอส x − xบาป x)

การทำงาน ก(x) ตัวคูณแรกจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย แต่รูปแบบทั่วไปไม่เปลี่ยนแปลง แน่นอนว่าปัจจัยแรกของฟังก์ชัน ก(x) เป็นพหุนามและอนุพันธ์ของมันคืออนุพันธ์ของผลรวม เรามี:

ก ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · จ x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · จ x + (x 2 + 7x− 7) · ( จ x)’ = (2x+ 7) · จ x + (x 2 + 7x− 7) · จ x = จ x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · จ x = x(x+ 9) · จ x .

คำตอบ:
ฉ ’(x) = x 2 (3คอส x − xบาป x);
ก ’(x) = x(x+ 9) · จ x .

โปรดทราบว่าในขั้นตอนสุดท้ายอนุพันธ์จะถูกแยกตัวประกอบ อย่างเป็นทางการไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ แต่อนุพันธ์ส่วนใหญ่ไม่ได้คำนวณด้วยตัวเอง แต่เพื่อตรวจสอบฟังก์ชัน ซึ่งหมายความว่าอนุพันธ์เพิ่มเติมจะเท่ากับศูนย์ สัญญาณจะถูกกำหนด และอื่นๆ ในกรณีเช่นนี้ ควรแยกตัวประกอบนิพจน์จะดีกว่า

ถ้ามีสองฟังก์ชัน ฉ(x) และ ก(x), และ ก(x) ≠ 0 บนเซตที่เราสนใจ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันใหม่ได้ ชม.(x) = ฉ(x)/ก(x- สำหรับฟังก์ชันดังกล่าว คุณยังสามารถหาอนุพันธ์ได้:

ไม่อ่อนแอใช่ไหม? ลบมาจากไหน? ทำไม ก 2? และเช่นนี้! นี่เป็นหนึ่งในสูตรที่ซับซ้อนที่สุด - คุณไม่สามารถเข้าใจได้หากไม่มีขวด ดังนั้นจึงควรศึกษาด้วยตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงจะดีกว่า

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตัวเศษและส่วนของแต่ละเศษส่วนมีฟังก์ชันพื้นฐาน ดังนั้นสิ่งที่เราต้องมีคือสูตรหาอนุพันธ์ของผลหาร:

ตามธรรมเนียมแล้ว เรามาแยกตัวประกอบของตัวเศษกัน - นี่จะทำให้คำตอบง่ายขึ้นมาก:

ฟังก์ชันที่ซับซ้อนไม่จำเป็นต้องมีสูตรยาวครึ่งกิโลเมตร ตัวอย่างเช่น การรับฟังก์ชันก็เพียงพอแล้ว ฉ(x) = บาป xและแทนที่ตัวแปร xพูดเปิด x 2 + อิน x- มันจะได้ผล ฉ(x) = บาป ( x 2 + อิน x) - นี่คือฟังก์ชันที่ซับซ้อน มันมีอนุพันธ์ด้วย แต่จะไม่สามารถค้นหาได้โดยใช้กฎที่กล่าวถึงข้างต้น

ฉันควรทำอย่างไรดี? ในกรณีเช่นนี้ การแทนที่ตัวแปรและสูตรเพื่อหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนจะช่วย:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที', ถ้า xถูกแทนที่ด้วย ที(x).

ตามกฎแล้ว สถานการณ์ที่มีการทำความเข้าใจสูตรนี้น่าเศร้ายิ่งกว่าอนุพันธ์ของผลหารด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะอธิบายโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะพร้อมคำอธิบายโดยละเอียดของแต่ละขั้นตอน

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: ฉ(x) = จ 2x + 3 ; ก(x) = บาป ( x 2 + อิน x)

โปรดทราบว่าหากอยู่ในฟังก์ชัน ฉ(x) แทนนิพจน์ 2 x+3 จะเป็นเรื่องง่าย xแล้วเราจะได้ฟังก์ชันพื้นฐาน ฉ(x) = จ x- ดังนั้นเราจึงทำการทดแทน: ให้ 2 x + 3 = ที, ฉ(x) = ฉ(ที) = จ ที- เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (จ ที)’ · ที ’ = จ ที · ที ’

และตอนนี้ - ให้ความสนใจ! เราทำการเปลี่ยนแบบย้อนกลับ: ที = 2x+ 3 เราได้รับ:

ฉ ’(x) = จ ที · ที ’ = จ 2x+3 (2 x + 3)’ = จ 2x+ 3 2 = 2 จ 2x + 3

ทีนี้มาดูฟังก์ชั่นกัน ก(x- แน่นอนว่ามันจำเป็นต้องเปลี่ยนใหม่ x 2 + อิน x = ที- เรามี:

ก ’(x) = ก ’(ที) · ที’ = (บาป ที)’ · ที' = cos ที · ที ’

การแทนที่แบบย้อนกลับ: ที = x 2 + อิน x- แล้ว:

ก ’(x) = คอส ( x 2 + อิน x) · ( x 2 + อิน x)' = คอส ( x 2 + อิน x) · (2 x + 1/x).

นั่นคือทั้งหมด! ดังที่เห็นได้จากนิพจน์ที่แล้ว ปัญหาทั้งหมดลดลงเหลือเพียงการคำนวณผลรวมอนุพันธ์

คำตอบ:
ฉ ’(x) = 2 · จ 2x + 3 ;
ก ’(x) = (2x + 1/x) เพราะ ( x 2 + อิน x).

บ่อยครั้งในบทเรียนของฉัน แทนที่จะใช้คำว่า "อนุพันธ์" ฉันใช้คำว่า "เฉพาะ" ตัวอย่างเช่น เส้นขีดของผลรวมเท่ากับผลรวมของเส้นขีด นั่นชัดเจนกว่าเหรอ? นั่นเป็นสิ่งที่ดี

ดังนั้นการคำนวณอนุพันธ์จึงต้องกำจัดจังหวะเดียวกันนี้ตามกฎที่กล่าวไว้ข้างต้น จากตัวอย่างสุดท้าย ลองกลับไปสู่กำลังอนุพันธ์ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

(x n)’ = n · x n − 1

น้อยคนที่รู้ว่าในบทบาทนี้ nอาจเป็นเลขเศษส่วนก็ได้ ตัวอย่างเช่นรากคือ x 0.5. จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามีอะไรแปลก ๆ อยู่ใต้ราก? ผลลัพธ์จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนอีกครั้ง - พวกเขาต้องการสร้างโครงสร้างดังกล่าวในการทดสอบและการสอบ

งาน. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ขั้นแรก ลองเขียนรากใหม่เป็นกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ:

ฉ(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

ตอนนี้เราทำการทดแทน: ให้ x 2 + 8x − 7 = ที- เราค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตร:

ฉ ’(x) = ฉ ’(ที) · ที ’ = (ที 0.5)’ · ที’ = 0.5 · ที−0.5 · ที ’.

มาทำการแทนที่แบบย้อนกลับกัน: ที = x 2 + 8x− 7. เรามี:

ฉ ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

สุดท้ายก็กลับไปสู่รากเหง้า:

การดำเนินการหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

อันเป็นผลมาจากการแก้ปัญหาในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ง่ายที่สุด (และไม่ง่ายนัก) โดยการกำหนดอนุพันธ์เป็นขีด จำกัด ของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำปรากฏขึ้น . คนแรกที่ทำงานในด้านการค้นหาอนุพันธ์คือ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการหาความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านี้มักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจำไว้เป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อมาถึงจุดนี้ ผลหารของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในระยะเริ่มต้นของการศึกษาอนุพันธ์ แต่เมื่อนักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งและสองส่วน เขาจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากและ การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และตัวประกอบของมันคือผลรวม ในวินาทีที่คำศัพท์ตัวใดตัวหนึ่งมีค่าคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังมากมายอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

บ้าน » การแพร่เชื้อ » อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คืออะไร? อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และอนุพันธ์ของผลหารคำนวณอย่างไร อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์คืออะไร